Высказывание

Алгебра в широком смысле- это наука об общих операциях, аналогичных сложению, умножению, которые могут выполняться на разнообразными математическими объектами.

Алгебра логики – математический аппарат, с помощью которого записывают, упрощают и преобразовывают логические высказывания. Создателем алгебры логики является английский математик Джорж Буль, в честь которого алгебра логики называется Булевой алгеброй высказываний.

Для информатики важен раздел математики, называемый алгеброй логики; объектами алгебры логики являются высказывания.

Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать,  истинно оно или ложно.

В русском языке высказывания выражаются повествовательными предложениями. Но не всякое повествовательное предложение является высказыванием.

Побудительные и вопросительные предложения высказываниями не являются.

Высказывания могут строиться с использованием знаков различных формальных языков- математики, физики, химии и т.п

Обоснованием истинности и ложности высказываний решается теми науками, в сфере которых они относятся. Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний. Ее интересует только то, истинно или ложно данное высказывание. В алгебре логики высказывания обозначают буквами и называют логическими переменными. При этом если высказывание истинно, то значение соответствующей ему логической переменной обозначают единицей (А=1), если ложно- нулем (В=0). 0 и 1, обозначающие значения логических переменных, называются логическими значениями.

Алгебра логики определяет правила записи, вычисления значений, упрощения и преобразования высказываний.

Оперируя логическими переменными, которые могут быть равны только 0 или 1, алгебра логики позволяет свести обработку информации к операциям с двоичными данными. Именно аппарат алгебры логики положен в основу компьютерных устройств хранения и обработки информации.

Логические операции

Высказывания бывают простыми и сложными. Высказывание называется простым, если никакая его часть сама не является высказыванием. Сложные (составные) высказывания строятся из простых с помощью логических операций. 

Название логической операции	Логическая связка
Конъюкция	«и», «а», «но», «хотя»
Дизъюнкция	«или»
Инверсия	«не», « неверно что»

Конъюкция

Конъюкция- логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, являющиеся истинным тогда и только тогда, когда оба выражения истинны.

Конъюнкция( логическое умножение) – соединение двух логических выражений высказываний ) с помощью союза И. Эта операция обозначается символами & и ∧.

Правила выполнения логической  операции  отражаются в таблице, которая называется таблицей истинности:
А – У меня есть знания  для сдачи зачета.
В – У меня есть  желание для сдачи зачета.
A&B – У меня есть знания и желание для сдачи зачета.

A	B	A&B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Вывод: Логическая операция конъюнкция истинна только в том случае, если оба простых высказывания истинны, в противном случае она ложна. 

Дизъюнкция

Дизъюнкция – логическая операция, которая каждым двум высказываниям ставит в соответствие новое высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба сходных высказывания ложны.

Дизъюнкция (логическое сложение) – соединение двух логических высказываний с помощью союза ИЛИ. Эта операция обозначается значком V.
Рассмотрим таблицу истинности для данной логической операции.
Обозначим через A  - летом я поеду в лагерь, B – летом я поеду в к бабушке.
AVB -  Летом я поеду в лагерь или поеду  к бабушке.

A	B	AVB
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Вывод: логическая операция дизъюнкция  ложна, если оба простых высказывания ложны. В остальных случаях она истинна

Инверсия

Инверсия – логическая операция, которая каждому высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, значение которого противоположно исходному.

Отрицание  или инверсия – добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО,ЧТО, обозначается символом  ¬  , ¯.
Пусть  A –  Сейчас на дворе лето.

A	¬A
0	1
1	0

Вывод: если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное выражение ложно, то оно будет истинным.

Любое сложное высказывание можно записать в виде логического выражения - выражения, содержащего логические переменные, знаки логических операций и скобки. Логические операции в логическом выражении выполняются в следующей очередности: инверсия, конъюкция, дизъюнкция. Изменить порядок выполнения операций можно с помощью расстановки скобок.

Последовательность выполнения операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция.

Построение таблиц истинности для логических выражений

Для логического выражения можно построить таблицу истинности, показывающую, какие значения принимает выражение при всех наборах значений входящих в него переменных. Для построения таблиц истинности следует:

1) Подсчитать n-переменных в выражении
2) Подсчитать общее число логических операций в выражении
3) Установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов
4) Определить число столбцов в таблице: число переменных + число операций
5) Заполнить шапку таблицы, включив в нее переменные и операции в соответствии с последовательностью, установленной в п.3
6) Определить число строк в таблице ( не считая шапки таблицы) m равно два в степени n
7) Выписать наборы входных переменных с учетом того, что они представляют собой целый ряд n-разрядных двоичных чисел от 0 до двух в степени n минус один
8) Провести заполнение таблицы по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью.